Наверное, если кто сможет сгенерировать реальную волу, а значит, в обратную сторону, получить формулу ее расчета, тот получит следующую Нобелевскую премию. А я и не претендую (зачем мне она, «Мы делаем деньги на бирже»). Для начала давайте обсудим и согласуем свойства волатильности. Скачиваем файл.

https://cloud.mail.ru/public/k69C/4k8khnUhR

Что мы обычно делаем. Берем приращения логарифмов, потому что мы знаем, что цена растет по экспоненте. И из этих приращений делаем распределение. И мы допустим, что это распределение может быть нормальным от Гауса. Поэтому мы сразу нагенерим такую последовательность, которую нам выдавала в формуле sigma*W. И которую мы извлекаем из БА.

Сгенерируем нормальное распределение. В прошлый раз мы брали просто случайные числа для волатильности. Для того что бы сделать их числами нормального распределения надо вставить в функцию из эксела, «нормальное обращение» и задать волатильность нормальности и среднее. Смотрите формулу на листе «Нормальное распределение». Среднее мы оставим 0 волу 0,2. Если еще, кто ни будь не видел, то вот оно, о чем тут такие жаркие споры. При каждом пересчете выдаются параметры этого распределения. СКО и оно соответствует заданному 0,2. Эксцесс около 0 и Скос около 0. То есть выдерживаются все параметры Гауса. Ниже график дисперсии. Наши  «дельта индикатор» и график волатильности со средней 20, который ходит вокруг 20. Вы можете пересчитывать лист. Распределение посчитано за 200 периодов, так что оно немного гуляет. И это нормально. У нас не так много значений в анализе.

Так как же случается так, что наше красивое, Гаусовское, такое понятное распределение становится другим. Или не другим. Перейдем на следующий лист «Очень нормальное распределение». Я сделал его отдельно специально. Я перенес в отдельный столбик волатильность, которую я задал для моего распределения. Теперь, начиная с 27 строки я подставляю волатильность большую чем 0,2. 0,3;0,5;1 и т.д. На 20ти периодах. И все. Мое распределение ломается. Эксцесс, Скос, СКО уже не Гаусовские.  В дисперсии виден явный выброс, а волатильность взлетает. Появляются «хвосты» имени Талеба. Так что случилось?

Я не менял распределение, которое генерирует мне случайные числа. Они приходят ко мне строго по Гаусу и на предыдущем листе это видно (я все скопировал).  Но теперь, приходят люди ch5oh и говорят, что это не Гаус. А тут как Гаус был, так и остался. Просто был гаус с 20 волой, потом с 50 волой, но все время был Гаус. А распределение не Гаус. Как?

Давайте сравним с реальным активом РИ на листе «реальный актив». Все тоже самое. Высокий Эксцесс, Асимметричность, выбросы на дисперсии и «хвосты» в распределении.  

Возникает вопрос, как должен меняться процесс, который меняет волатильность. Или, говоря попросту, волатильность волатильности Гаусовского процесса.

Продолжим изучать свойства настоящего актива. Возьмем СКО и сравним его с ценами РИ. (график Регрессия, лист Реальный актив). Точечный график.  Синие точки выстроятся в определенном порядке. Построим линию тренда (зависимости). Эксель дает несколько вариантов аппроксимации и сглаживания. Это то, что мы называем улыбкой волатильности. Зависимость волатильности от цены. Вы сами можете выбрать, например логарифмическую аппроксимацию разряда конденсатора, как делает это FZF , а можете сделать правильно. Взять полином. Точность аппроксимации определяет показатель R^2. В данном случае я взял полином 3 степени, хотя, моя любимая «китайская улыбка», второй степени, не хуже. Можете сами степени менять и смотреть R^2.

Так вот. Мы наблюдаем конкретную корреляцию БА с волатильностью и нам надо будет это учитывать. Для начала, посмотрим как ведет себя актив с постоянной волой (лист «Модель константа»). Задано СКО, среднее, и множитель для получения дисперсии около 4% за шаг. Она нормально распределена. Для того что бы получить цену, мы делаем обратное действие получения дисперсии. Берем начальную цену 1000 и умножаем на EXP(наша сгенерированная дисперсия). Получается следующая цена и так 200 раз. Берем СКО и сравниваем с ценами. Получаем точечный график и график цены.

Можно увидеть, что при пересчете, «улыбки» волатильности у нас не получается. Даже с полиномом 2ой степени аппроксимация не стабильная. Что то надо делать.
И у нам МЮ переписалось. Если раньше это было непонятным числом, то теперь оно конкретное. И это МЮ среднее распределения нашей дисперсии. Если сделать «Среднее» порядка 0,2, то мы видим, что наша цена растет по экспоненте. Так что, что бы понять растет актив или падает надо смотреть среднее по СКО, а не среднее по цене.

На этом прервемся, и вы расскажите мне, как нам положить все цены на нашу аппроксимацию.

Если интересно…