В этой статье я покажу, как можно оценивать опционы без формулы Блэка-Шоулза и продемонстрирую качество такого подхода.

Безмодельное оценивание опционов и подразумеваемое распределение

Начнём с того, что вспомним, как можно сосчитать цену опциона типа Call зная плотность распределения цены инструмента на момент экспирации опциона:
.
Это то же самое что и
.

Подразумеваемую плотность распределения, сидящую в ценах опционов, можно вытащить наружу:
.

Эту производную можно сосчитать двумя способами:
1) Прямо из цен методами численного дифференцирования;
2) Сосчитать IV из цен опционов, подогнать какую-нибудь модель улыбки волатильности и дифференцировать суперпозицию формулы Блэка-Шоулза и модели улыбки волатильности. Бр-р-р!

Возможно, если нам удастся подогнать подразумеваемое распределение какой-нибудь несложной функцией — нам не будут нужны ни формула Блэка-Шоулза, ни модели улыбок волатильности. Подумаем над вариантами…

Как приблизить подразумеваемое распределение

Вариант первый — использовать общий вид характеристической функции устойчивых распределений:

Выглядит внушительно, но мы поищем чего попроще 😀

Вариант второй — использовать ряд Эджворта. На мой взгляд — выглядит ещё более страшно.

Вариант третий — использовать разложение Корниша-Фишера. На первый взгляд оно может показаться не менее страшным, чем первые два варианта, но на самом деле это не так. Широко известное применение этого разложения — оценивание non-Gaussian VaR.

Второй и третий варианты — это широко известные способы приближения вероятностных распределений в терминах кумулянтов. Что такое кумулянты, чем они могут быть полезны и т.д. можно почитать в книге: Малахов А.Н. «Кумулянтный анализ случайных негаусовых процессов и их преобразований».

Разложение Корниша-Фишера

Посмотрим подробнее на третий вариант.
Пусть у нас есть некоторая случайная величина, которую можно охарактеризовать набором параметров  — матожидание, стандартное отклонение, скос и эксцесс.

Разложение Корниша-Фишера позволяет приблизительно вычислить квантиль распределения такой случайной величины: , где , а  — квантильная функция стандартного нормального распределения. Полиномы  определяются следующим образом: , , .

На языке R можно реализовать вычисление квантильной функции в соответствии с разложением Корниша-Фишера вот таким образом:

Как вы уже могли догадаться — у этого разложения есть определённые пределы, в которых оно работает:

Что со всем этим делать

Итак, у нас есть аппроксимация квантильной функции . Но для оценивания опционов нам нужна либо функция плотности распределения , либо функция распределения . Всё это можно сосчитать аналитически, либо просто вычислить квантильную функцию на сетке  и интерпретировать множество пар как функцию распределения, заданную таблично. Тогда можно численно сосчитать стоимость опционов по формуле для разных наборов параметров . Таким образом, становится возможна калибровка параметров разложения Корниша-Фишера к ценам опционов.

Разумно начинать оптимизацию со следующих значений параметров: . В качестве критерия оптимизации можно использовать сумму квадратов разностей между фактическими и расчётными ценами опционов.

Греки

Для торговли опционами нам наверняка понадобятся греки. С одной стороны — можно перейти от расчётных цен к модели Блэка-Шоулза и считать всё по ней (но у нас в явном виде нет модели улыбки волатильности, по которой тоже нужно дифференцировать, если рынок соответствует правилу sticky moneyness: smart-lab.ru/blog/526647.php ).

Очевидно, что мы можем численно продифференцировать цены коллов по параметрам  подразумеваемого распределения цен опционов. Таким образом мы получим дельту и вегу. Это будет корректно лишь в том случае, если рыночные данные подтверждают, что при изменении одного из этих параметров другой в среднем остаётся неизменным. Если это правило нарушается — то, возможно, следует делать коррекцию дельты и веги с учётом линейной регрессии  друг на друга, сосчитанной на некоторой истории изменений этих параметров.

Сосчитать тэту сложнее. У нас нет в явном виде зависимости параметров разложения Корниша-Фишера от времени, а также мы не знаем подразумеваемого распределения доходностей на небольших масштабах, которое при суммировании независимых случайных величин с таким распределением могло бы давать подразумеваемое распределение, которое мы получили из цен опционов. Самое простое (но не факт, что правильное), что мы можем сделать — предположить, что доходности базового актива на мелких масштабах независимы, и отмасштабировать параметры разложения Корниша-Фишера исходя из асимптотики .

Таким образом, у нас вроде бы есть возможность считать дельту, гамму, вегу и тэту.

Как такая модель ложится в рынок

Картинка вместо тысячи слов:

Улыбка волатильности, с наклоном и поднятыми над центром хвостами,… возникла.
В качестве подопытных выступали цены опционов на Теслу 🙂